A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752–1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.
Ha
prímszám és
egész szám, akkor az
Legendre-szimbólum értéke:
- 0, ha
osztja
-t,
- 1, ha
kvadratikus maradék
-re nézve – azaz van olyan egész
hogy
,
- –1, ha
kvadratikus nemmaradék
-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú
egész szám
A Legendre-szimbólum tulajdonságai[szerkesztés]
A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:
(felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
- Ha
, akkor ![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c53d660aed6373e99b8e0feb7d9801186b2d41)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1bc66bb06845bb4d2d3908f9ab3d72493874ce)
- Ha
páratlan prím, akkor
, azaz 1, ha
és – 1, ha ![{\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f07e0fc36f5ba74c2fccb0276ff253a002be88f)
- Ha
páratlan prím, akkor
, ami 1, ha
vagy
és – 1, ha
vagy ![{\displaystyle 5{\pmod {8}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c5e57877383d5b668352e8dc7c1f7dcef0853e)
- Ha
és
páratlan prímszámok, akkor ![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbedae0ac73c0ff2d907124b11a89e61788bcaa)
Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.
Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad22849f219e1b4aed9b2c4ebd71928119cf2fb3)
A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.
A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.